设f(x)在[a,b]上连续,且f"(x)>0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0<λ<1,证明: f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).

admin2021-11-25  25

问题 设f(x)在[a,b]上连续,且f"(x)>0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0<λ<1,证明:
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).

选项

答案令x0=λx1+(1-λ)x2,则x0∈[a,b],由泰勒公式可得, f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*](x-x0)2,其中ξ介于x0与x之间, 因为f”(x)>0,所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0) 于是[*] 两式相加,得f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).

解析
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