2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使

admin2016-12-16  62
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使
选项
答案将上式中的ξ改为x，并将上式改写为 f’(x)f(1一x)一kf(x)f(1一x)=0． 令g(x)=一[f(1一x)]k ，应作辅助函数F(x)=f(x)g(x)，则 F’(x)=[f(x)g(x)]’={f(x)[f(1一x)]k}’ =f’(x)[f(1一x)]k一k[f(1一x) ]k一1f(1一x)f(x)． 令 F(x)=f (x)[ f (1一x)]k ，则 由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即 f’(ξ)[f(1一ξ)]k一k[f(1一ξ)]k一1f’(1一ξ)f(ξ)=0． 整理即得 [*]
解析
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考研数学三

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