设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使

admin2016-12-16 47

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使

选项

答案将上式中的ξ改为x，并将上式改写为 f’(x)f(1一x)一kf(x)f(1一x)=0．令g(x)=一[f(1一x)]^k ，应作辅助函数F(x)=f(x)g(x)，则 F’(x)=[f(x)g(x)]’={f(x)[f(1一x)]^k}’ =f’(x)[f(1一x)]^k一k[f(1一x) ]^k一1f(1一x)f(x)．令 F(x)=f (x)[ f (1一x)]^k ，则由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即 f’(ξ)[f(1一ξ)]^k一k[f(1一ξ)]^k一1f’(1一ξ)f(ξ)=0．整理即得 [*]

解析

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