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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x>0时,f(x)>0.证明对任意自然数k,存在ξ∈(0,1),使
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x>0时,f(x)>0.证明对任意自然数k,存在ξ∈(0,1),使
admin
2016-12-16
48
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x>0时,f(x)>0.证明对任意自然数k,存在ξ∈(0,1),使
选项
答案
将上式中的ξ改为x,并将上式改写为 f’(x)f(1一x)一kf(x)f(1一x)=0. 令g(x)=一[f(1一x)]
k
,应作辅助函数F(x)=f(x)g(x),则 F’(x)=[f(x)g(x)]’={f(x)[f(1一x)]
k
}’ =f’(x)[f(1一x)]
k
一k[f(1一x) ]
k一1
f(1一x)f(x). 令 F(x)=f (x)[ f (1一x)]
k
,则 由罗尔定理知,存在ξ∈(0,1)使得F’(ξ)=0,即 f’(ξ)[f(1一ξ)]
k
一k[f(1一ξ)]
k一1
f’(1一ξ)f(ξ)=0. 整理即得 [*]
解析
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考研数学三
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