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  3. 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

admin2018-04-12  56
问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
选项
答案对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 [*] 当a=0时，r(A)=1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为x1+x2+x3+x4=0。 由此得基础解系为η1=(一1，1，0，0)T，η2=(一1，0，1，0)T，η3=(一1，0，0，1)T，所以所求方程组的通解为x=k1η1+k2η2+k3η3，其中k1，k2，k3为任意常数。 当a≠0时， [*] 当a=一10时，r(A)=3＜4，故方程组也有非零解，其同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1，2，3，4)T，所以所求方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。
解析 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵不满秩，所以本题先讨论系数矩阵的秩，可以通过求行列式或是对矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵进行讨论。
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考研数学二

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