2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α3＋α1，Aα3＝α1＋α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化?

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α3＋α1，Aα3＝α1＋α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化?

admin2016-01-25  49
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α3＋α1，Aα3＝α1＋α2．
(1)求A的全部特征值；  
(2)A是否可对角化?
选项
答案(1)由题设知， A(α1＋α2＋α3)＝2(α1＋α2＋α3)， A(α2－α1)＝Aα2一Aα1＝α3＋α1一(α2＋α3)＝一(α2－α1)， A(α3－α1)＝Aα3一Aα1＝α1＋α2一(α2＋α3)＝一(α3－α1)． 又因为α1，α2，α3线性无关，所以 α1＋α2＋α3≠0， α2－α1≠0， α3－α1≠0． 可得一1，2是A的特征值，α2－α1，α3－α1，α1＋α2＋α3是相应的特征向量． 又由α1，α2，α3线性无关，得α2－α1，α3－α1也线性无关，所以一1是A的二重特征值，即A的全部特征值为一1，一1，2． (2)由α1，α2，α3线性无关可证明α2－α1，α3－α1，α1＋α2＋α3线性无关． 事实上，由矩阵表示法： [α2－α1，α3－α1，α1＋α2＋α3]＝[α1，α2，α3][*] 而α1，α2，α3线性无关，右边的三阶行列式不等于0，其矩阵可逆，故 α2－α1，α3－α1，α1＋α2＋α3 线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，故矩阵A为可对角化．
解析 利用所给的向量等式及特征值、特征向量的定义可求出A的全部特征值及三个线性无关的特征向量．
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考研数学三

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