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  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0。证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点。

设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0。证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点。

admin2018-01-30  49
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0。证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点。
选项
答案反证法，如果f(x)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(x)不变号，证法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，有sinx＞0，因此，必有∫0πf(x)sinxdx＞0(或＜0)。这与假设相矛盾。 如果f(x)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(x)sin(x一a)同号，因此∫0πf(x)sin(x一a)dx≠0。但是，另一方面∫0πf(x)sin(x一a)dx=∫0πf(x)(sinxcosa一cosxsina)dx=cosa∫0πf(x)sinxdx一sina∫0πf(x)cosxdx=0。 这个矛盾说明f(x)也不可能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点。
解析
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考研数学二

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