设f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

admin2019-05-11 56

问题设f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

选项

答案因为t｜t｜为奇函数，可知其原函数 f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt=∫_—1⁰t｜t｜dt+∫₀^xt｜t｜dt 为偶函数，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)。又由f’(x)=x｜x｜可知x＜0时，f’(x) ＜0，故f(x)单调减少，因此f(x) ＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。当x＞0时，f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，所以当x＞0时，y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积 A=∫_—1¹｜f(x)｜dx=2∫_—1⁰｜f(x)｜dx。当x＜0时，f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt=∫_—1^x一t²dt=[*](1+x³)，因此 [*]

解析

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考研数学二

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设f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

考研数学二

设抛物线y＝aχ2＋bχ＋c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y＝aχ2＋bχ＋c与抛物线y＝－χ2＋2χ所围图形的面积最小，求a，b，c的值．

设D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1}，直线l：χ＋y＝t(t≥0)，S(t)为正方形区域D位于l左下方的面积，求∫0χS(t)dt(χ≥0)．

证明：，其中a＞0为常数．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

设直线y＝aχ与抛物线y＝χ2所围成的图形面积为S1，它们与直线χ＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1．(1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．

设f(χ)二阶连续可导且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．曲线y＝f(χ)上任一点(χ，f(χ))(χ≠0)处作切线，此切线在χ轴上的截距为u，求．

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是_________．

曲线在t=1处的曲率k=___________．

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