设f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

admin2019-05-11 53

问题设f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

选项

答案因为t｜t｜为奇函数，可知其原函数 f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt=∫_—1⁰t｜t｜dt+∫₀^xt｜t｜dt 为偶函数，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)。又由f’(x)=x｜x｜可知x＜0时，f’(x) ＜0，故f(x)单调减少，因此f(x) ＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。当x＞0时，f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，所以当x＞0时，y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积 A=∫_—1¹｜f(x)｜dx=2∫_—1⁰｜f(x)｜dx。当x＜0时，f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt=∫_—1^x一t²dt=[*](1+x³)，因此 [*]

解析

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考研数学二

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