2. 考研
  3. 设直线y＝aχ与抛物线y＝χ2所围成的图形面积为S1，它们与直线χ＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．

设直线y＝aχ与抛物线y＝χ2所围成的图形面积为S1，它们与直线χ＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．

admin2017-09-15  104
问题 设直线y＝aχ与抛物线y＝χ2所围成的图形面积为S1，它们与直线χ＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1．
    (1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；
    (2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．
选项
答案(1)直线y＝aχ与抛物线y＝χ2的交点为(0，0)，(a，a2)． 当＜a＜1时， S＝S1＋S2 ＝∫0a(aχ－χ2)dχ＋∫a1(χ2－aχ)dχ ＝[*]， 令S′＝a2－[*]＝0得a＝[*]，因为[*]＞0，所以a＝[*]时，S1＋S2取到最小值，此时最小值为[*] 当a≤0时， [*] 因为S′＝－[*](a2＋1)＜0，所以S(a)单调减少，故a＝0时S1＋S2取最小值，而S(0)＝[*] 因为[*]＝S(0)，所以当a＝[*]时，S1＋S2最小? (2)旋转体的体积为Vχ＝[*]
解析
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考研数学二

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