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设直线y=aχ与抛物线y=χ2所围成的图形面积为S1,它们与直线χ=1所围成的图形面积为S2,且a<1. (1)确定a,使S1+S2达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积.
设直线y=aχ与抛物线y=χ2所围成的图形面积为S1,它们与直线χ=1所围成的图形面积为S2,且a<1. (1)确定a,使S1+S2达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积.
admin
2017-09-15
78
问题
设直线y=aχ与抛物线y=χ
2
所围成的图形面积为S
1
,它们与直线χ=1所围成的图形面积为S
2
,且a<1.
(1)确定a,使S
1
+S
2
达到最小,并求出最小值;
(2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积.
选项
答案
(1)直线y=aχ与抛物线y=χ
2
的交点为(0,0),(a,a
2
). 当<a<1时, S=S
1
+S
2
=∫
0
a
(aχ-χ
2
)dχ+∫
a
1
(χ
2
-aχ)dχ =[*], 令S′=a
2
-[*]=0得a=[*],因为[*]>0,所以a=[*]时,S
1
+S
2
取到最小值,此时最小值为[*] 当a≤0时, [*] 因为S′=-[*](a
2
+1)<0,所以S(a)单调减少,故a=0时S
1
+S
2
取最小值,而S(0)=[*] 因为[*]=S(0),所以当a=[*]时,S
1
+S
2
最小? (2)旋转体的体积为V
χ
=[*]
解析
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考研数学二
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