设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明: (1)存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2ξf(ξ). (2)存在η∈(a,b),使得ηf’(η)+f(η)=0.

admin2017-03-15  23

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明:
  (1)存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
  (2)存在η∈(a,b),使得ηf’(η)+f(η)=0.

选项

答案(1)令φ(x)=[*]f(x),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=[*]≠0,故f’(ξ)=2ξf(ξ). (2)令φ(x)=xf(x),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在η∈(a,b),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=xf’(x)+f(x),故ηf’(η)+f(η)=0.

解析
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