2. 考研
  3. 设a，b，c为实数，求证：曲线y＝eχ与y＝aχ2＋bχ＋c的交点不超过三个．

设a，b，c为实数，求证：曲线y＝eχ与y＝aχ2＋bχ＋c的交点不超过三个．

admin2016-10-21  67
问题 设a，b，c为实数，求证：曲线y＝eχ与y＝aχ2＋bχ＋c的交点不超过三个．
选项
答案令f(χ)＝eχ－aχ2－bχ－c，那么问题等价于证明f(χ)的零点不超过三个．假设结论不正确，则至少有四个点χ1＜χ2＜χ3＜χ4，使得f(χ)＝0，i＝1，2，3，4． 由于f(χ)在[χ1，χ4]上可导，由罗尔定理可知f′(χ1)在(χ1，χ2)，(χ3，χ4)，(χ3，χ4)内至少各有一个零点ξ1，ξ2，ξ3．又由于f′(χ)在[ξ1，ξ3]上可导，由罗尔定理可知f〞(χ)在(ξ1，ξ2)，(ξ2，ξ3)内至少各有一个零点η1，η2．同样地，由于f〞(χ)在[η1，η2]上可导，由罗尔定理可知f″′(χ)在(η1，η2)内至少有一个零点ζ．因此至少存在一点ζ∈(－∞，＋∞)使得f″′(ζ)＝0，而f″′(χ)＝eχ＞0(χ∈(－∞，＋∞))，这就产生了矛盾．故f(χ)的零点不超过三个．
解析
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考研数学二

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