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设a,b,c为实数,求证:曲线y=eχ与y=aχ2+bχ+c的交点不超过三个.
设a,b,c为实数,求证:曲线y=eχ与y=aχ2+bχ+c的交点不超过三个.
admin
2016-10-21
115
问题
设a,b,c为实数,求证:曲线y=e
χ
与y=aχ
2
+bχ+c的交点不超过三个.
选项
答案
令f(χ)=e
χ
-aχ
2
-bχ-c,那么问题等价于证明f(χ)的零点不超过三个.假设结论不正确,则至少有四个点χ
1
<χ
2
<χ
3
<χ
4
,使得f(χ)=0,i=1,2,3,4. 由于f(χ)在[χ
1
,χ
4
]上可导,由罗尔定理可知f′(χ
1
)在(χ
1
,χ
2
),(χ
3
,χ
4
),(χ
3
,χ
4
)内至少各有一个零点ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
.又由于f′(χ)在[ξ
1
,ξ
3
]上可导,由罗尔定理可知f〞(χ)在(ξ
1
,ξ
2
),(ξ
2
,ξ
3
)内至少各有一个零点η
1
,η
2
.同样地,由于f〞(χ)在[η
1
,η
2
]上可导,由罗尔定理可知f″′(χ)在(η
1
,η
2
)内至少有一个零点ζ.因此至少存在一点ζ∈(-∞,+∞)使得f″′(ζ)=0,而f″′(χ)=e
χ
>0(χ∈(-∞,+∞)),这就产生了矛盾.故f(χ)的零点不超过三个.
解析
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