设a，b，c为实数，求证：曲线y＝eχ与y＝aχ2＋bχ＋c的交点不超过三个．

admin2016-10-21 63

问题设a，b，c为实数，求证：曲线y＝e^χ与y＝aχ²＋bχ＋c的交点不超过三个．

选项

答案令f(χ)＝e^χ－aχ²－bχ－c，那么问题等价于证明f(χ)的零点不超过三个．假设结论不正确，则至少有四个点χ₁＜χ₂＜χ₃＜χ₄，使得f(χ)＝0，i＝1，2，3，4．由于f(χ)在[χ₁，χ₄]上可导，由罗尔定理可知f′(χ₁)在(χ₁，χ₂)，(χ₃，χ₄)，(χ₃，χ₄)内至少各有一个零点ξ₁，ξ₂，ξ₃．又由于f′(χ)在[ξ₁，ξ₃]上可导，由罗尔定理可知f〞(χ)在(ξ₁，ξ₂)，(ξ₂，ξ₃)内至少各有一个零点η₁，η₂．同样地，由于f〞(χ)在[η₁，η₂]上可导，由罗尔定理可知f″′(χ)在(η₁，η₂)内至少有一个零点ζ．因此至少存在一点ζ∈(－∞，＋∞)使得f″′(ζ)＝0，而f″′(χ)＝e^χ＞0(χ∈(－∞，＋∞))，这就产生了矛盾．故f(χ)的零点不超过三个．

解析

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考研数学二

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