设a,b,c为实数,求证:曲线y=eχ与y=aχ2+bχ+c的交点不超过三个.

admin2016-10-21  45

问题 设a,b,c为实数,求证:曲线y=eχ与y=aχ2+bχ+c的交点不超过三个.

选项

答案令f(χ)=eχ-aχ2-bχ-c,那么问题等价于证明f(χ)的零点不超过三个.假设结论不正确,则至少有四个点χ1<χ2<χ3<χ4,使得f(χ)=0,i=1,2,3,4. 由于f(χ)在[χ1,χ4]上可导,由罗尔定理可知f′(χ1)在(χ1,χ2),(χ3,χ4),(χ3,χ4)内至少各有一个零点ξ1,ξ2,ξ3.又由于f′(χ)在[ξ1,ξ3]上可导,由罗尔定理可知f〞(χ)在(ξ1,ξ2),(ξ2,ξ3)内至少各有一个零点η1,η2.同样地,由于f〞(χ)在[η1,η2]上可导,由罗尔定理可知f″′(χ)在(η1,η2)内至少有一个零点ζ.因此至少存在一点ζ∈(-∞,+∞)使得f″′(ζ)=0,而f″′(χ)=eχ>0(χ∈(-∞,+∞)),这就产生了矛盾.故f(χ)的零点不超过三个.

解析
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