[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明厂在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2019-06-25 66

问题 [2013年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明厂在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α ^Tβ=0，[*] 故α^Tα=1，β^Tβ=1，因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tβ)=2α||α||+β(β^Tα)=2α·1+β·0=2α，即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量； Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩(A)=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩(α)+秩(β)=1+1－2＜3则A的第三个特征值为λ₃=0，故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学三

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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明厂在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学三

设A是3×4阶矩阵且r(A)=l，设(1，一2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(一1，2，0，1)T，(2，一4，3，a+1)T皆为AX=0的解．求方程组AX=0的通解．

设求F(x)；

设二维随机变量(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y2≤9a2)，则()．

设A，B为n阶矩阵，求P·Q；

设曲线与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问以为何值时，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．

设平面区域D：1≤x2+y2≤4,f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于()．

令[]对[]两边积分得[]于是[]故[*]

设求φ"(x)，其中f(x)为连续函数．

设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f′(a)=g′(a)，f"(x)＞g"(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．

(1)设求a，b的值．(2)确定常数a，b，使得(3)设b＞0，且求b．

有关泌尿系的感染细菌入侵途径有

男，40岁。化工厂工人。工龄8年。被诊断为职业性肿瘤：膀胱癌。患者工作中有可能长期接触了下列哪种化学物质

患者呕吐多为清水痰涎，脘闷不食，头晕心悸，舌苔白腻。脉滑。其证候为

下列属于Ⅳ型超敏反应的疾病是()。

以下说法正确的是()

【2012年第71题】三角形木桁架的中央高度与跨度之比不应小于：

下列关于《中华人民共和国文物保护法》，说法错误的是()。

某日某高校内发生暴力事件，学生纷纷从楼梯逃离，请结合下面的示意图回答问题：如果你是图中已经被绊倒或者摔倒的人员，则下列哪项自救措施是错误的?()

Therearecockroaches(蟑螂)everywhereonEarthexcepttheplacesthatarecoveredwithice.Scientistshavediscoveredabout3,50

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设求F(x)；

设二维随机变量(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y2≤9a2)，则()．

设A，B为n阶矩阵，求P·Q；

设曲线与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问以为何值时，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．

设平面区域D：1≤x2+y2≤4,f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于()．

令[*]对[*]两边积分得[*]于是[*]故[*]

设求φ"(x)，其中f(x)为连续函数．

设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f′(a)=g′(a)，f"(x)＞g"(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．

(1)设求a，b的值．(2)确定常数a，b，使得(3)设b＞0，且求b．

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患者呕吐多为清水痰涎，脘闷不食，头晕心悸，舌苔白腻。脉滑。其证候为

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