2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0．证明： 存在η∈(a，b)，使得f’(η)一3f’(17)+2f(η)=0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0．证明： 存在η∈(a，b)，使得f’(η)一3f’(17)+2f(η)=0．

admin2016-10-24  74
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0．证明：
存在η∈(a，b)，使得f’(η)一3f’(17)+2f(η)=0．
选项
答案令g(x)=e一xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈((c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0． 而g’(x)2e7[f(x)一f(x)]且e…≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0． 令φ(x)=e2n[f’(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0． 由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)[*](a，b)，使得φ’(η)=0， 而φ’(x)=e一2x[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e一2x≠0， 所以f’(η)一3f’(η)+2f(η)=0．
解析
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考研数学三

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