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设A=,已知A有三个线性无关的特征向量且λ=2为矩阵A的二重特征值,求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
设A=,已知A有三个线性无关的特征向量且λ=2为矩阵A的二重特征值,求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
admin
2022-06-30
58
问题
设A=
,已知A有三个线性无关的特征向量且λ=2为矩阵A的二重特征值,求可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
由λ
1
=λ
2
=2及又λ
1
+λ
2
+λ
3
=tr(A)=10得λ
3
=6. 因为矩阵A有三个线性无关的特征向量,所以r(2E-A)=1, 由2E-A=[*]得a=2,b=-2. λ
1
=λ
2
=2代入(λE-A)X=0, 由2E-A→[*]得λ
1
=λ
2
=2对应的线性无关的特征向量为 a
1
=[*],a
2
=[*]; λ
3
=6代入(λE-A)X=0, 由6E-A=[*]得λ
3
=6对应的线性无关的特征向量为a
3
=[*]. 令P=[*],则P可逆,且P
-1
AP=[*].
解析
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考研数学二
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