设α1，α2，…，αs是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关．

admin2020-03-16 55

问题设α₁，α₂，…，α_s是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关．

选项

答案方法一用定义．设 c₁α₁+c₂α₂+…+c_sα_s=0，对每个i，c_i‖α_i‖=(α_i，c₁α₁+c₂α₂+…+c_sα_s)=0，而‖α_i‖≠0，于是c_i=0．方法二计算秩．以α₁，α₂，…，α_s为列向量组构造矩阵A=(α₁，α₂，…，α_s)，则由例3．50的结果，A^TA是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为‖α₁‖²，‖α₂‖²，…，‖α_s‖²，它们都不为0．于是 r(α₁，α₂，…，α_s)=r(A)=r(A^TA)=s，从而α₁，α₂，…，α_s线性无关．

解析

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