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设α1,α2,…,αs是一组两两正交的非零向量,证明它们线性无关.
设α1,α2,…,αs是一组两两正交的非零向量,证明它们线性无关.
admin
2020-03-16
72
问题
设α
1
,α
2
,…,α
s
是一组两两正交的非零向量,证明它们线性无关.
选项
答案
方法一 用定义.设 c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
=0, 对每个i,c
i
‖α
i
‖=(α
i
,c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
)=0,而‖α
i
‖≠0,于是c
i
=0. 方法二 计算秩. 以α
1
,α
2
,…,α
s
为列向量组构造矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
s
),则由例3.50的结果,A
T
A是对角矩阵,并且对角线上的元素依次为‖α
1
‖
2
,‖α
2
‖
2
,…,‖α
s
‖
2
,它们都不为0.于是 r(α
1
,α
2
,…,α
s
)=r(A)=r(A
T
A)=s, 从而α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JdA4777K
0
考研数学二
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