设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．

admin2017-08-28 53

问题设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x³，求此凸弧的方程．

选项

答案设凸弧的方程为y＝f(x)，因梯形OAPC的面积为[*][1＋f(x)]，故[*] 两边对x求导，则得y＝f(x)所满足的微分方程为 xy’一y＝一6x²一1． (原方程中令x＝0得0＝0，不必另加条件，它与原方程等价) 其通解为 [*] 对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5x—6x²＋1． [*]

解析

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f’’(x)>0，证明：
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