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设A是3阶矩阵,b=[9,18,一18]T,方程组Ax=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,一2]T,其中k1,k2是任意常数,求A及A100.
设A是3阶矩阵,b=[9,18,一18]T,方程组Ax=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,一2]T,其中k1,k2是任意常数,求A及A100.
admin
2014-04-23
76
问题
设A是3阶矩阵,b=[9,18,一18]
T
,方程组Ax=b有通解k
1
[-2,1,0]
T
+k
2
[2,0,1]
T
+[1,2,一2]
T
,其中k
1
,k
2
是任意常数,求A及A
100
.
选项
答案
法一由题设条件知,对应齐次方程的基础解系是ξ
1
=[一2,1,0]
T
,ξ
2
=[2,0,1]
T
,即ξ
1
,ξ
2
是A的对应于λ=0的两个线性无关的特征向量,又η=[1,2,-2]
T
是Ax=b的特解,即有[*]知ξ
3
=[1,2,一2]
T
=η是A的对应于λ=9的特征向量,取可逆阵P=[ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
],则得P
-1
AP=A,A=PAP
-1
,其中[*]因[*]故(1)[*]或(2)A
100
=(PAP
-1
)
100
=PA
100
P
-1
[*] 法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵A
3×3
.因对应齐次方程组Ax=0有通解为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
=-k
1
[-2,1,0]
T
+k
2
[2,0,1]
T
,故,r(A)=1.可设方程组为ax
1
+bx
2
+cx
3
=0,将ξ
1
,ξ
2
代入,则有[*]得c=一2a,b=2a,故方程组为a(x
1
+2x
2
一2x
3
)=0.对应的非齐次方程组为[*] 将特解η=[1,2,-2]
T
代入得k
1
=1,k
2
=2,k
3
=一2.故得对应矩阵[*] 再求A
100
.(见法一(1))或因 Aξ
1
=0, 故 A
100
ξ
1
=0;Aξ
2
=0, 故A
100
ξ
2
=0.Aη=9η.故A
100
η=9
100
η.故 A
100
[ξ
1
,ξ
2
,η]=[0,0,9
100
η]. [*]
解析
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考研数学一
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