2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，b=[9，18，一18]T，方程组Ax=b有通解k1[-2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，一2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．

设A是3阶矩阵，b=[9，18，一18]T，方程组Ax=b有通解k1[-2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，一2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．

admin2014-04-23  101
问题 设A是3阶矩阵，b=[9，18，一18]T，方程组Ax=b有通解k1[-2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，一2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．
选项
答案法一由题设条件知，对应齐次方程的基础解系是ξ1=[一2，1，0]T,ξ2=[2，0，1]T,即ξ1，ξ2是A的对应于λ=0的两个线性无关的特征向量，又η=[1，2，-2]T是Ax=b的特解，即有[*]知ξ3=[1，2，一2]T=η是A的对应于λ=9的特征向量，取可逆阵P=[ξ1，ξ2，ξ3]，则得P-1AP=A，A=PAP-1，其中[*]因[*]故(1)[*]或(2)A100=(PAP-1)100=PA100P-1[*] 法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵A3×3．因对应齐次方程组Ax=0有通解为k1ξ1+k2ξ2=-k1[-2，1，0]T+k2[2，0，1]T，故，r(A)=1．可设方程组为ax1+bx2+cx3=0，将ξ1，ξ2代入，则有[*]得c=一2a，b=2a，故方程组为a(x1+2x2一2x3)=0．对应的非齐次方程组为[*] 将特解η=[1，2，-2]T代入得k1=1，k2=2，k3=一2．故得对应矩阵[*] 再求A100．(见法一(1))或因 Aξ1=0， 故 A100ξ1=0；Aξ2=0， 故A100ξ2=0．Aη=9η．故A100η=9100η．故 A100[ξ1，ξ2，η]=[0，0，9100η]． [*]
解析
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考研数学一

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