设A是3阶矩阵,b=[9,18,一18]T,方程组Ax=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,一2]T,其中k1,k2是任意常数,求A及A100.

admin2014-04-23  53

问题 设A是3阶矩阵,b=[9,18,一18]T,方程组Ax=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,一2]T,其中k1,k2是任意常数,求A及A100

选项

答案法一由题设条件知,对应齐次方程的基础解系是ξ1=[一2,1,0]T2=[2,0,1]T,即ξ1,ξ2是A的对应于λ=0的两个线性无关的特征向量,又η=[1,2,-2]T是Ax=b的特解,即有[*]知ξ3=[1,2,一2]T=η是A的对应于λ=9的特征向量,取可逆阵P=[ξ1,ξ2,ξ3],则得P-1AP=A,A=PAP-1,其中[*]因[*]故(1)[*]或(2)A100=(PAP-1)100=PA100P-1[*] 法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵A3×3.因对应齐次方程组Ax=0有通解为k1ξ1+k2ξ2=-k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T,故,r(A)=1.可设方程组为ax1+bx2+cx3=0,将ξ1,ξ2代入,则有[*]得c=一2a,b=2a,故方程组为a(x1+2x2一2x3)=0.对应的非齐次方程组为[*] 将特解η=[1,2,-2]T代入得k1=1,k2=2,k3=一2.故得对应矩阵[*] 再求A100.(见法一(1))或因 Aξ1=0, 故 A100ξ1=0;Aξ2=0, 故A100ξ2=0.Aη=9η.故A100η=9100η.故 A1001,ξ2,η]=[0,0,9100η]. [*]

解析
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