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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A; (Ⅲ)求A及,其中E为3阶单位矩阵。
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A; (Ⅲ)求A及,其中E为3阶单位矩阵。
admin
2015-09-14
65
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
=(-1,2,-1)
T
,α
2
=(0,-1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=A;
(Ⅲ)求A及
,其中E为3阶单位矩阵。
选项
答案
由于矩阵A的各行元素之和均为3,所以 [*] 因为Aα
2
=0,Aα
2
=0,即 Aα
2
=0α
2
,Aα
2
=0α
2
故λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值,α
1
,α
2
为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量;λ
3
=3是A的一个特征值,α
3
=(1,1,1)
T
为A的属于特征值3的特征向量。 总之,A的特征值为0,0,3.属于特征值0的全体特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
(k
1
,k
2
不全为零),属于特征值3的全体特征向量为k
3
α
3
(k
3
≠0)。 对α
1
,α
2
正交化。令ξ
1
=α
1
=(一1,2,一1)
T
[*] 再分别将ξ
1
,ξ
2
,α
3
单位化,得 [*]
解析
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考研数学三
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