2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A； (Ⅲ)求A及，其中E为3阶单位矩阵。

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A； (Ⅲ)求A及，其中E为3阶单位矩阵。

admin2015-09-14  104
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；
(Ⅲ)求A及，其中E为3阶单位矩阵。
选项
答案由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*] 因为Aα2=0，Aα2=0，即 Aα2=0α2，Aα2=0α2 故λ1=λ2=0是A的二重特征值，α1，α2为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量；λ3=3是A的一个特征值，α3=(1，1，1)T为A的属于特征值3的特征向量。 总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值0的全体特征向量为k1α1+k2α2(k1，k2不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k3α3(k3≠0)。 对α1，α2正交化。令ξ1=α1=(一1，2，一1)T [*] 再分别将ξ1，ξ2，α3单位化，得 [*]
解析
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考研数学三

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