2. 考研
  3. 设直线L：(x-1)/2=(y-1)/1=z/1. (1)求直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面； (2)求(1)中所得旋转曲面界于z=0与z=1之间的几何体的体积.

设直线L：(x-1)/2=(y-1)/1=z/1. (1)求直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面； (2)求(1)中所得旋转曲面界于z=0与z=1之间的几何体的体积.

admin2021-12-14  11
问题 设直线L：(x-1)/2=(y-1)/1=z/1.
(1)求直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面；
(2)求(1)中所得旋转曲面界于z=0与z=1之间的几何体的体积.
选项
答案(1)记直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面为∑，设M(x，y，z)为曲面∑上的一点，过点M作与z轴垂直的平面，分别交直线L及z轴于点M0(x0，y0，z)及T(0，0，z)， 由|M0T|=|MT|得x2+y2=x02+y02， 注意到M0∈L，则[*]代入上式得 ∑：x2+y2=(1+2z)2+(2+z)2，即∑：x2+y2=5z2+8z+5. (2)方法一 对任意的z∈[0，1]，截口面积为A(z)=π(x2+y2)=π(5z2+8z+5)，则V=∫01A(z)dz=π∫01(5z2+8z+5)dz=32π/3. 方法二 [*]当z=0时，t=0；当z=1时，t=1.设M(1+2t，2+t，t)为曲面三上任意一点，则截口面积为 S(t)=πr2=π[(1+2t)2+(2+t)2]=π(5t2+8t+5)， 则体积为 V=∫01S(t)dt=(32/3)π.
解析
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考研数学一

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