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(15)设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
(15)设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
admin
2018-08-01
39
问题
(15)设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Py下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
，其中P=(e
1
，e
2
，e
3
)．若Q=(e
1
，-e
3
，e
2
)，则f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Qy下的标准形为
选项
A、2y
1
2
-y
2
2
+y
3
2
．
B、2y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
．
C、2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
．
D、2y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
．
答案
A
解析
设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e
1
，e
2
，e
3
是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，-1．即有
Ae
1
=2e
1
，Ae
2
=2e
2
，Ae
3
=2e
3
从而有
AQA(e
1
，-e
3
，e
2
)=(Ae
1
，-Ae
3
，Ae
2
)=(2e
1
，-(-e
3
)，e
2
)
=(e
1
，-e
3
，e
2
)
矩阵Q的列向量e
1
，-e
3
，e
2
仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，-1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q
-1
=Q
T
，上式两端左乘Q
-1
，得
Q
-1
AQ=Q
T
AQ=
从而知f在正交变换x=Py下的标准形为f=2y
1
2
-y
2
2
+y
3
2
．于是选(A)．
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