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(2004年)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有
(2004年)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有
admin
2018-07-30
65
问题
(2004年)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有
选项
A、A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
B、A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
C、A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
D、A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
答案
A
解析
设A按列分块为A=[α
1
,α
2
,…,α
n
],由B≠0知B至少有一列非零,设B的第j列b
1j
,b
2j
,…,b
nj
)
T
≠0,则AB的第j列为
[α
1
,α
2
,…,α
n
]
=0,
即b
1j
α
1
+b
2j
α
2
+…+b
nj
α
n
=0,
因为常数b
1j
,b
2j
,…,b
nj
不全为零,故由上式知A的列向量组线性相关.再由AB=O取转置得B
T
A
T
=O,利用已证的结果可知B
T
的列向量组——即B的行向量组线性相关,故(A)正确.
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