设z=z(x,y)是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数, (Ⅰ)求z=z(x,y)一阶偏导数与驻点; (Ⅱ)求z=z(x,y)的极值点和极值.

admin2016-07-29  39

问题 设z=z(x,y)是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数,
(Ⅰ)求z=z(x,y)一阶偏导数与驻点;
(Ⅱ)求z=z(x,y)的极值点和极值.

选项

答案(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性,将方程求全微分即得18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6ydz一2zdz=0,即(18x一54y)dc+(180y一54x一6z)dy一(6y+2z)dz=0.从而 [*] 为求隐函数z=z(x,y)的驻点,应解方程组 [*] ②可化简为x=3),,由③可得z=30y一9x=3y,代入①可解得两个驻点x=3,y=1,z=3与x=一3,y=一1,z=一3.(Ⅱ)z=z(x,y)的极值点必是它的驻点.为判定z=z(x,y)在两个驻点处是否取得极值,还需求z=2(x,y)在这两点的二阶偏导数.注意,在驻点P=(3,1,3),Q=(一3,一1,一3)处, [*]在驻点P,Q处 [*] 再由 [*]在驻点P,Q处 [*] 于是可得出在P点处 [*] 因[*] 故在点(3,1)处z=z(x,y)取得极小值z(3,1)=3.在Q点处 [*] 因[*] 故在点(一3,一1)处z=z(x,y)取得极大值z(一3,一1)=一3.

解析
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