设z=z（x，y）是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数，（Ⅰ）求z=z（x，y）一阶偏导数与驻点；（Ⅱ）求z=z（x，y）的极值点和极值．

admin2016-07-29 59

问题设z=z（x，y）是由9x²—54xy+90y²—6yz—z²+18=0确定的函数，
（Ⅰ）求z=z（x，y）一阶偏导数与驻点；
（Ⅱ）求z=z（x，y）的极值点和极值．

选项

答案(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6ydz一2zdz=0，即(18x一54y)dc+(180y一54x一6z)dy一(6y+2z)dz=0．从而 [*] 为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组 [*] ②可化简为x=3)，，由③可得z=30y一9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3与x=一3，y=一1，z=一3．(Ⅱ)z=z(x，y)的极值点必是它的驻点．为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=2(x，y)在这两点的二阶偏导数．注意，在驻点P=(3，1，3)，Q=(一3，一1，一3)处， [*]在驻点P，Q处 [*] 再由 [*]在驻点P，Q处 [*] 于是可得出在P点处 [*] 因[*] 故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值z(3，1)=3．在Q点处 [*] 因[*] 故在点(一3，一1)处z=z(x，y)取得极大值z(一3，一1)=一3．

解析

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考研数学三

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设z=z（x，y）是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数，（Ⅰ）求z=z（x，y）一阶偏导数与驻点；（Ⅱ）求z=z（x，y）的极值点和极值．

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