已知a1，a2，…，as是互不相同的数，n维向量αi=(1，ai，ai2，…，ain-1)T(i=1，2，…，s)，求向量组α1，α2，…，αs的秩．

admin2019-02-23 68

问题已知a₁，a₂，…，a_s是互不相同的数，n维向量α_i=(1，a_i，a_i²，…，a_i^n-1)^T(i=1，2，…，s)，求向量组α₁，α₂，…，α_s的秩．

选项

答案当s＞n时，α₁，α₂，…，α_s必线性相关，但｜α₁，α₂，…，α_n｜是范德蒙行列式，故α₁，α₂，…，α_n线性无关．因而r(α₁，α₂，…，α_s)=n．当s=n时，α₁，α₂，…，α_n线性无关，秩r(α₁，α₂，…，α_n)=n．当s＜n时，记α’₁=(1，a₁，a₁²，…，a₁^s-1)^T，α’₂=(1，a₂，a₂²，…，a₂^s-1)^T，…，α’_s=(1，a_s，a_s²，…，a_s^s-1)^T，则α’₁，α’₂，…，α’_s线性无关．那么α₁，α₂，…，α_s必线性无关．故r(α₁，α₂，…，α_s)=s．

解析

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考研数学二

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已知a1，a2，…，as是互不相同的数，n维向量αi=(1，ai，ai2，…，ain-1)T(i=1，2，…，s)，求向量组α1，α2，…，αs的秩．

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