设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角阵.

admin2019-01-05  21

问题 设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角阵.

选项

答案A有n个互不相同的特征值,故存在可逆阵P,使得P-1AP=diag(λ1,λ2.…,λn)=A1,其中λi,i=1,2,…,n是A的特征值,且λi≠λj(i≠j). 又AB=BA,故P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP,即A1P-1BP=P-1BPA1. 设P-1BP=(cij)m×n,则 [*] 比较对应元素λicijj=cij,即(λi-λj)cij=0,λi≠λj(i≠j),得cij=0.于是 P-1BP=[*],即B~A2

解析
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