设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．

admin2019-01-05 35

问题设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．

选项

答案A有n个互不相同的特征值，故存在可逆阵P，使得P^－1AP=diag(λ₁，λ₂．…，λ_n)=A₁，其中λ_i，i=1，2，…，n是A的特征值，且λ_i≠λ_j(i≠j)．又AB=BA，故P^－1APP^－1BP=P^－1BPP^－1AP，即A₁P^－1BP=P^－1BPA₁．设P^－1BP=(c_ij)_m×n，则 [*] 比较对应元素λ_ic_ij=λ_j=c_ij，即(λ_i－λ_j)c_ij=0，λ_i≠λ_j(i≠j)，得c_ij=0．于是 P^－1BP=[*]，即B～A₂．

解析

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考研数学三

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