2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．

设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．

admin2019-01-05  40
问题 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．
选项
答案A有n个互不相同的特征值，故存在可逆阵P，使得P－1AP=diag(λ1，λ2．…，λn)=A1，其中λi，i=1，2，…，n是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)． 又AB=BA，故P－1APP－1BP=P－1BPP－1AP，即A1P－1BP=P－1BPA1． 设P－1BP=(cij)m×n，则 [*] 比较对应元素λicij=λj=cij，即(λi－λj)cij=0，λi≠λj(i≠j)，得cij=0．于是 P－1BP=[*]，即B～A2．
解析
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考研数学三

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