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已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且Aα1=3α1+3α2—2α3,Aα2=一α2,Aα3=8α+6α2—5α3. (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B; (Ⅱ)求A的特征值和特征向量; (Ⅲ)求秩r(A+E).
已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且Aα1=3α1+3α2—2α3,Aα2=一α2,Aα3=8α+6α2—5α3. (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B; (Ⅱ)求A的特征值和特征向量; (Ⅲ)求秩r(A+E).
admin
2015-04-30
50
问题
已知A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是3维线性无关列向量,且Aα
1
=3α
1
+3α
2
—2α
3
,Aα
2
=一α
2
,Aα
3
=8α+6α
2
—5α
3
.
(Ⅰ)写出与A相似的矩阵B;
(Ⅱ)求A的特征值和特征向量;
(Ⅲ)求秩r(A+E).
选项
答案
(Ⅰ)由于A(α
1
,α
2
,α
3
)=(3α
1
+3α
2
—2α
3
,一α
2
,8α
1
+6α
2
—5α
3
) =(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 令P=(α
1
,α
2
,α
3
),因α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故P可逆. 记B=[*],则有P
—1
AP=B,即A与B相似. Ⅱ由|λE—B|=[*]=(λ+1)
3
, 可知矩阵B的特征值为一1,一1,一1,故矩阵A的特征值为一1,一1,一1. 对于矩阵B.由 一E—B=[*],得特征向量(0,1,0)
T
,(一2,0,1)
T
,那么由Bα=λα即(P
—1
AP)α=λα,得A(Pα)=λ(Pα).所以 [*] 是A的特征向量,于是A属于特征值一1的所有特征向量是 k
1
α
2
+k
2
(一2α
1
+α
3
),其中k
1
,k
2
不全为0. (Ⅲ)由A一B有A+E一B+E,故r(A+E)=r(B+E)=1.
解析
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考研数学二
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