已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2，Aα3=8α+6α2—5α3． (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B； (Ⅱ)求A的特征值和特征向量； (Ⅲ)求秩r(A+E)．

admin2015-04-30 53

问题已知A是3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是3维线性无关列向量，且Aα₁=3α₁+3α₂—2α₃，Aα₂=一α₂，Aα₃=8α+6α₂—5α₃．
(Ⅰ)写出与A相似的矩阵B；
(Ⅱ)求A的特征值和特征向量；
(Ⅲ)求秩r(A+E)．

选项

答案(Ⅰ)由于A(α₁，α₂，α₃)=(3α₁+3α₂—2α₃，一α₂，8α₁+6α₂—5α₃) =(α₁，α₂，α₃)[*] 令P=(α₁，α₂，α₃)，因α₁，α₂，α₃线性无关，故P可逆．记B=[*]，则有P^—1AP=B，即A与B相似． Ⅱ由｜λE—B｜=[*]=(λ+1)³，可知矩阵B的特征值为一1，一1，一1，故矩阵A的特征值为一1，一1，一1．对于矩阵B．由一E—B=[*]，得特征向量(0，1，0)^T，(一2,0，1)^T，那么由Bα=λα即(P^—1AP)α=λα，得A(Pα)=λ(Pα)．所以 [*] 是A的特征向量，于是A属于特征值一1的所有特征向量是 k₁α₂+k₂(一2α₁+α₃)，其中k₁，k₂不全为0． (Ⅲ)由A一B有A+E一B+E，故r(A+E)=r(B+E)=1．

解析

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考研数学二

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已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2，Aα3=8α+6α2—5α3． (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B； (Ⅱ)求A的特征值和特征向量； (Ⅲ)求秩r(A+E)．

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