2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2，Aα3=8α+6α2—5α3． (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B； (Ⅱ)求A的特征值和特征向量； (Ⅲ)求秩r(A+E)．

已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2，Aα3=8α+6α2—5α3． (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B； (Ⅱ)求A的特征值和特征向量； (Ⅲ)求秩r(A+E)．

admin2015-04-30  49
问题 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2，Aα3=8α+6α2—5α3．
(Ⅰ)写出与A相似的矩阵B；
(Ⅱ)求A的特征值和特征向量；
(Ⅲ)求秩r(A+E)．
选项
答案(Ⅰ)由于A(α1，α2，α3)=(3α1+3α2—2α3，一α2，8α1+6α2—5α3) =(α1，α2，α3)[*] 令P=(α1，α2，α3)，因α1，α2，α3线性无关，故P可逆． 记B=[*]，则有P—1AP=B，即A与B相似． Ⅱ由｜λE—B｜=[*]=(λ+1)3， 可知矩阵B的特征值为一1，一1，一1，故矩阵A的特征值为一1，一1，一1． 对于矩阵B．由 一E—B=[*]，得特征向量(0，1，0)T，(一2,0，1)T，那么由Bα=λα即(P—1AP)α=λα，得A(Pα)=λ(Pα)．所以 [*] 是A的特征向量，于是A属于特征值一1的所有特征向量是 k1α2+k2(一2α1+α3)，其中k1，k2不全为0． (Ⅲ)由A一B有A+E一B+E，故r(A+E)=r(B+E)=1．
解析
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考研数学二

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