设an=+∞，证明 (1)(a1+a2+…+an)=+∞； (2)若an＞0(n=1，2，…)，则=+∞．

admin2022-10-31 9

问题设

a_n=+∞，证明
(1)

(a₁+a₂+…+a_n)=+∞；
(2)若a_n＞0(n=1，2，…)，则

=+∞．

选项

答案(1)∵[*]a_n=+∞，对于任给的M＞0，存在正整数N₁，使得当n＞N₁时，a_n＞M．同时，存在正整数N₂，N₃，使得当n＞N₂时，｜[*](a₁+a₂+…+[*])｜＜M／3；当n＞N₃时，N₁／n＜1／3，令N=max{N₁，N₂，N₃}，于是当n＞N时， [*] 由M的任意性，故[*](a₁+a₂+…+a_n)=+∞． (2)∵[*]a_n=+∞，∴对一切L＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，a_n＞e^L，即lna_n＞L．于是[*]lna_n=+∞．由(1)的结论得 [*](lna₁+lna₂+…+lna_n)=+∞．即[*]对于任给的M＞0，存在正整数N₁，使得当n＞N₁时，[*]

解析

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