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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
admin
2016-10-26
57
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1一a)
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化成标准形;
(Ⅲ)求方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解.
选项
答案
(Ⅰ)二次型矩阵A=[*].二次型的秩为2,即二次型矩阵A的秩为2, 从而 |A|=2[*]=-8a=0,解得a=0. (Ⅱ)当a=0时,A=[*],由特征多项式 [*] 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 当λ=2时,由(2E—A)x=0,[*] 得特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(0,0,1)
T
. 当λ=0时,由(0E—A)x=0,[*],得特征向量α
3
=(1,一1,0)
T
. 容易看出,α
1
,α
2
,α
3
已两两正交,故只需将它们单位化: [*] 那么令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],则在正交变换x=Qy下,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形 f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=y
T
Ay=[*] (Ⅲ)由f(x
1
,x
2
,x
3
)=[*]=0,得[*] 所以方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的通解为:k(1,一1,0)
T
,其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Whu4777K
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考研数学一
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