已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

admin2016-10-26  29

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)+2(1+a)x1x2的秩为2.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
(Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

选项

答案(Ⅰ)二次型矩阵A=[*].二次型的秩为2,即二次型矩阵A的秩为2, 从而 |A|=2[*]=-8a=0,解得a=0. (Ⅱ)当a=0时,A=[*],由特征多项式 [*] 得矩阵A的特征值λ12=2,λ3=0. 当λ=2时,由(2E—A)x=0,[*] 得特征向量α1=(1,1,0)T,α2=(0,0,1)T. 当λ=0时,由(0E—A)x=0,[*],得特征向量α3=(1,一1,0)T. 容易看出,α1,α2,α3已两两正交,故只需将它们单位化: [*] 那么令Q=(γ1,γ2,γ3)=[*],则在正交变换x=Qy下,二次型f(x1,x2,x3)化为标准形 f(x1,x2,x3)=xTAx=yTAy=[*] (Ⅲ)由f(x1,x2,x3)=[*]=0,得[*] 所以方程f(x1,x2,x3)=0的通解为:k(1,一1,0)T,其中k为任意常数.

解析
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