2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)+2(1+a)x1x2的秩为2． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)+2(1+a)x1x2的秩为2． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

admin2016-10-26  53
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)+2(1+a)x1x2的秩为2．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
选项
答案(Ⅰ)二次型矩阵A=[*]．二次型的秩为2，即二次型矩阵A的秩为2， 从而 ｜A｜=2[*]=－8a=0，解得a=0． (Ⅱ)当a=0时，A=[*]，由特征多项式 [*] 得矩阵A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0． 当λ=2时，由(2E—A)x=0，[*] 得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T． 当λ=0时，由(0E—A)x=0，[*]，得特征向量α3=(1，一1，0)T． 容易看出，α1，α2，α3已两两正交，故只需将它们单位化： [*] 那么令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x1，x2，x3)化为标准形 f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=[*] (Ⅲ)由f(x1，x2，x3)=[*]=0，得[*] 所以方程f(x1，x2，x3)=0的通解为：k(1，一1，0)T，其中k为任意常数．
解析
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考研数学一

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