设向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组(Ⅲ)α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,则下列结论不正确的是( )

admin2021-02-25  12

问题 设向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组(Ⅲ)α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,则下列结论不正确的是(             )

选项 A、若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,则r2=r3
B、若(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示,则r1=r3
C、若r1=r3,则r2>r1
D、若r2=r3,则r1≤r2

答案C

解析 本题考查向量组的秩的概念和性质.
因为当(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示时,则(Ⅲ)可由(Ⅱ)线性表示,而(Ⅱ)又可由(Ⅲ)线性表示,因此,(Ⅱ)和(Ⅲ)等价,(A)正确.同理(B)也正确.由于(Ⅰ)与(Ⅱ)均在(Ⅲ)中有r1≤r3和r2≤r3,因此当r1=r3时,有r2≤r1
当r2=r3时,有r1≤r2,故D正确,而C不正确,故选C.
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