设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βt的秩为r2，向量组(Ⅲ)α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r3，则下列结论不正确的是( )

admin2021-02-25 36

问题设向量组(Ⅰ)α₁，α₂，…，α_s的秩为r₁，向量组(Ⅱ)β₁，β₂，…，β_t的秩为r₂，向量组(Ⅲ)α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t的秩为r₃，则下列结论不正确的是( )

选项 A、若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则r₂=r₃
B、若(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示，则r₁=r₃
C、若r₁=r₃，则r₂＞r₁
D、若r₂=r₃，则r₁≤r₂

答案C

解析本题考查向量组的秩的概念和性质．
因为当(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示时，则(Ⅲ)可由(Ⅱ)线性表示，而(Ⅱ)又可由(Ⅲ)线性表示，因此，(Ⅱ)和(Ⅲ)等价，(A)正确．同理(B)也正确．由于(Ⅰ)与(Ⅱ)均在(Ⅲ)中有r₁≤r₃和r₂≤r₃，因此当r₁=r₃时，有r₂≤r₁；
当r₂=r₃时，有r₁≤r₂，故D正确，而C不正确，故选C．

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考研数学二

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