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设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)二阶可导且f(0)=/(1)=0,f’’(x)
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)二阶可导且f(0)=/(1)=0,f’’(x)
admin
2014-02-06
47
问题
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)二阶可导且f(0)=/(1)=0,f
’’
(x)<0(x∈(0,1)),证明:
设
,则存在唯一的的ξ∈(0,1),使得f
’
(ξ)=M
选项
答案
方法l。要证:f
’
(x)一M在(0,1)[*]零点[*][f(x)一Mx]
’
在(0,1)[*]零点.作辅助函数F(x)=f(x)一Mx→F(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,F(0)=f(0)=0.再找F(x)在(0,1)的一个零点.由F(A)=f(A)一Ma=M(1一a)>0,F(1)=f(1)一M=一M<0[*],使得F(η)=0.在[*]上对F(x)用罗尔定理→[*]ξ∈(0,η)[*](0,1),使得F
’
(ξ)=0,即f
’
(ξ)=M. 方法2。作辅助函数F(x)=f(x)一Mx,由F(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且F(0)=0,F(A)=M(1一a)>0,F(1)=一M<0→F(x)存[0,1]的最大值不能存x=0或x=1取到[*],使得[*]由费马定理→F
’
(ξ)=0,即f
’
(ξ)=M. 方法3。先证M是f
’
(x)的某一中间值.由[*]=M→f
’
(A)=0,又由拉格朗口中值定理,[*],使得[*]亦即f
’
(A)
’(η).由连续函数中间值定理→[*],使得f
’
(ξ)=M.最后证唯一性.由f
’’
(x)<0(x∈(0,1))→f
’
(x)在(0,1)[*]唯一的ξ∈(0,1),f
’
(ξ)=M.
解析
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考研数学一
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