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设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)二阶可导且f(0)=／(1)=0，f’’(x)

admin2014-02-06  46
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)二阶可导且f(0)=／(1)=0，f’’(x)<0(x∈(0，1))，证明：
设，则存在唯一的的ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=M
选项
答案方法l。要证：f’(x)一M在(0，1)[*]零点[*][f(x)一Mx]’在(0，1)[*]零点．作辅助函数F(x)=f(x)一Mx→F(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，F(0)=f(0)=0．再找F(x)在(0，1)的一个零点．由F(A)=f(A)一Ma=M(1一a)>0，F(1)=f(1)一M=一M<0[*]，使得F(η)=0．在[*]上对F(x)用罗尔定理→[*]ξ∈(0，η)[*](0，1)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=M． 方法2。作辅助函数F(x)=f(x)一Mx，由F(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，且F(0)=0，F(A)=M(1一a)>0，F(1)=一M<0→F(x)存[0，1]的最大值不能存x=0或x=1取到[*]，使得[*]由费马定理→F’(ξ)=0，即f’(ξ)=M． 方法3。先证M是f’(x)的某一中间值．由[*]=M→f’(A)=0，又由拉格朗口中值定理，[*]，使得[*]亦即f’(A)’(η)．由连续函数中间值定理→[*]，使得f’(ξ)=M．最后证唯一性．由f’’(x)<0(x∈(0，1))→f’(x)在(0，1)[*]唯一的ξ∈(0，1)，f’(ξ)=M．
解析
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考研数学一

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