若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则f’(x)的零点的个数为( )。

admin2021-07-15  34

问题 若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则f’(x)的零点的个数为(     )。

选项 A、4
B、3
C、2
D、1

答案B

解析 f’(x)的零点即为f’(x)=0的根,也是f(x)的驻点,可以直接求f’(x),令f’(x)=0求解,但是运算较为复杂。
注意f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),可知f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0,在[1,2],[2,3],[3,4]上f(x)满足罗尔定理,因此必定存在ξ1∈(1,2),ξ2∈(2,3),ξ3∈(3,4),使得
f’(ξ1)=0,f’(ξ2)=0,f’(ξ3)=0.
由于f(x)为四次函数,f’(x)为三次函数,因此三次方程f’(x)=0至多有三个实根,故选B。
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