若函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f’(x)的零点的个数为（）。

admin2021-07-15 38

问题若函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f’(x)的零点的个数为（）。

选项 A、4
B、3
C、2
D、1

答案B

解析 f’(x)的零点即为f’(x)=0的根，也是f(x)的驻点，可以直接求f’(x),令f’(x)=0求解，但是运算较为复杂。
注意f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，可知f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0,在[1,2],[2,3],[3,4]上f(x)满足罗尔定理，因此必定存在ξ₁∈(1,2),ξ₂∈(2,3),ξ₃∈(3,4),使得
f’(ξ₁)=0,f’(ξ₂)=0,f’(ξ₃)=0.
由于f(x)为四次函数，f’(x)为三次函数，因此三次方程f’(x)=0至多有三个实根，故选B。

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