证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi-1线性表出．

admin2016-10-20 65

问题证明α₁，α₂，…，α_s(其中α₁≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个α_i(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α₁，α₂，…，α_i-1线性表出．

选项

答案必要性．因为α₁，α₂，…，α_n线性相关，故有不全为0的k₁，k₂，…，k_s，使 k₁α₁，k₂α₂，…，k_sα_s=0．设k_s，k_s-1，…，k₂，k₁中第一个不为0的是k_i(即k_i≠0，而k_i+1=…=k_s-1=k_s=0)，且必有i＞1(若i=l即k₁≠0，k₂=…=k_s=0，那么k₁α₁=0．于是α₁=0与α₁≠0矛盾．)，从而k₁α₁+k₂α₂+…+k_iα_i=0， k_i≠0．那么α_i=[*](k₁α₁+k₂α₂+…+k_i-1α_i-1)．充分性．因为有α_i=l₁α₁+l₂α₂+…+l_i-1α_i-1，于是 l₁α₁+…+l_i-1α_i-1-α_i+0α_i+1+…+0α_s=0．又因l₁，…，l_i-1，-1，0，…，0不全为0，故α₁，α₂，…，α_s线性相关．

解析

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考研数学三

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证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi-1线性表出．

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