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  3. 试用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数根的存在定理．

试用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数根的存在定理．

admin2022-11-23  24
问题 试用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数根的存在定理．
选项
答案设f在[a，b]上连续．且f(a)、f(b)异号，不妨设f(a)＜0，f(b)＞0，假设在(a，b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a，b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a，b]，有f(x)≠0，由连续性，对每一个x∈[a，b]，存在δx＞0，使得f在U(x，δx)∩[a，b]上同号，而H={U(x；δx)｜x∈[a，b]}是[a，b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理知在中必存在有限个开邻域 H*={U(xj；[*])｜x1＜x2＜…＜xm，xj∈[a，b]，j=1，2，…，m} 也覆盖[a，b]．由于f在U((xj；[*])∩[a，b]内同号．故当x∈U(x1，[*])∩[a，b]时，f(x)与f(a)同号．从而f(x)＜0，因H*覆盖了[a，b]，所以f在[a，b]上恒负，从而f(b)＜0，与题设条件f(b)＞0相矛盾．于是在(a，b)内至少存在一点x0，使得f(x0)=0．
解析
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考研数学二

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