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试用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数根的存在定理.
试用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数根的存在定理.
admin
2022-11-23
56
问题
试用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数根的存在定理.
选项
答案
设f在[a,b]上连续.且f(a)、f(b)异号,不妨设f(a)<0,f(b)>0,假设在(a,b)内没有f(x)=0的根,即对每一个x∈(a,b),都有f(x)≠0,从而对一切x∈[a,b],有f(x)≠0,由连续性,对每一个x∈[a,b],存在δ
x
>0,使得f在U(x,δ
x
)∩[a,b]上同号,而H={U(x;δ
x
)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖,由有限覆盖定理知在中必存在有限个开邻域 H
*
={U(x
j
;[*])|x
1
<x
2
<…<x
m
,x
j
∈[a,b],j=1,2,…,m} 也覆盖[a,b].由于f在U((x
j
;[*])∩[a,b]内同号.故当x∈U(x
1
,[*])∩[a,b]时,f(x)与f(a)同号.从而f(x)<0,因H
*
覆盖了[a,b],所以f在[a,b]上恒负,从而f(b)<0,与题设条件f(b)>0相矛盾.于是在(a,b)内至少存在一点x
0
,使得f(x
0
)=0.
解析
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考研数学二
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