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设f(x)在[a,b]上二阶可导,|f"(x)|≤M,又f(x)在(a,b)内能取到最小值,证明:|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).
设f(x)在[a,b]上二阶可导,|f"(x)|≤M,又f(x)在(a,b)内能取到最小值,证明:|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).
admin
2022-10-12
45
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导,|f"(x)|≤M,又f(x)在(a,b)内能取到最小值,证明:|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).
选项
答案
由题意,存在c∈(a,b),使得f(c)为最小值,从而f’(c)=0.由拉格朗日中值定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得f’(c)-f’(a)=f"(ξ
1
)(c-a),f’(b)-f’(c)=f"(ξ
2
)(b-c),于是|f’(a)|=|f"(ξ
1
)|(c-a)≤M(c-a),|f’(b)|=|f"(ξ
2
)|(b-c)≤M(b-c),故|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).
解析
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考研数学三
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