设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

admin2021-01-25 43

问题设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

选项 A、E一αα^T不可逆。
B、E+αα^T不可逆。
C、E+2αα^T不可逆。
D、E一2αα^T不可逆。

答案A

解析由α是n维单位列向量可知
(αα^T)α=α(α^Tα)=α，且1≤r(αα^T)≤r(α)=1，即1是矩阵αα^T的特征值，且r(αα^T)=1，所以αα^T的特征值为0(n一1重)和1。
矩阵E一αα^T的特征值为1(n一1重)和0，则E一αα^T不可逆。E+αα^T的特征值为1(n一1重)和2，E+2αα^T的特征值为1(n一1重)和3，E一2αα^T的特征值为1(n一1重)和一1，三者的矩阵行列式均不为零，因此均可逆。不可逆的只有A选项。

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