2. 考研
  3. 求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥O)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10

求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥O)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10

admin2017-11-13  24
问题 求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥O)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10．9)．
选项
答案若写出L的参数方程直接计算比较复杂，可考虑用斯托克斯公式来计算． 记L所围的球面部分为∑，按L的方向与右手法则，取∑的法向量朝上，先利用曲线方程简化被积函数，然后用斯托克斯公式，得 I=∫L(2bx－x2)dx+(2bx－y2)dy+2axdz [*] 注意，∑关于zx平面对称，被积函数1对y为偶函数，于是[*]dzdx=0．记∑在xy平面的投影区域为 Dxy：(x－a)2+y2≤a2．因此I=2b[*]dxdy=2bπa2．
解析
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考研数学一

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