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  3. 设平面区域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜x2+y2≤1}，D3=则

设平面区域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜x2+y2≤1}，D3=则

admin2017-05-10  51
问题 设平面区域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜x2+y2≤1}，D3=则
选项 A、I1＜I2＜I3．  
B、I1＜I3＜I2．  
C、I3＜I1＜I2．  
D、I3＜I2＜I1
答案C
解析 易见三个积分区域D1，D2，D3各自分别关于x轴对称，又各自分别关于y轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为D11,D21，D31．再利用被积函数f(x，y)=｜xy｜分别关于变量x与变量y都是偶函数，从而有

因为三个积分区域D11,D21，D31的左边界都是y轴上的直线段{(x，y)｜x=0，0≤y≤1}，下边界
都是x轴上的直线段{(x，y)1 0≤x≤1，y=0}，而D11的上边界是直线段{(x，y)｜0≤x≤1，y=1一x}，D21的上边界是圆弧，D31的上边界是曲线弧{(x，y)｜0≤x≤1，．不难发现当0＜x＜1时

即三个积分区域D11,D21与D31的包含关系是，如图4．1．从而利用被积函数｜xy｜非负且不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是I3＜I1＜I2，即应选(C)．
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考研数学三

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