给出满足下列条件的微分方程： (I)方程有通解y=(C1+C2x+x-1)e-x； (Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解

admin2016-10-20 53

问题给出满足下列条件的微分方程：
(I)方程有通解y=(C₁+C₂x+x^-1)e^-x；
(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解

选项

答案(Ⅰ)通解变形为e^xy=C₁+C₂x+x^-1，求导得 e^x(y’+y)=C₂-x^-2，再求导得方程e^x(y’’+2y’+y)=[*] (Ⅱ)由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为 y=C₁cos2x+C₂sin2x-[*] 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根±2i，且[*]xsin2x为其特解．进而知原方程为 y’’+4y=f(x)．为确定f(x)，将[*]代入得 [*] 因此，所求方程为y’’+4y=-cos2x．

解析由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征．从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程．在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程．

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考研数学三

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