2. 考研
  3. 设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为 而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2，一1，a+2，1)T， α2=(一1，2，4，0+8)T． (1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系； (2)当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?若有，

设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为 而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2，一1，a+2，1)T， α2=(一1，2，4，0+8)T． (1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系； (2)当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?若有，

admin2016-10-27  31
问题 设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为

而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α1=(2，一1，a+2，1)T，  α2=(一1，2，4，0+8)T．
(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；
(2)当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?若有，求出其所有非零公共解．
选项
答案(1)对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 由于，n—r(A)=4—2=2，基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取x3，x4为自由变量，得 β1=(5，一3，1，0)T， β2=(一3，2，0，1)T 是方程组(Ⅰ)的基础解系． (2)设η是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解，则 η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。 由k1β1+k2β2－l1α1－l2α2=0，得齐次方程组(Ⅲ) [*] 对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 如果a≠一1，则(Ⅲ)→[*]，那么方程组(Ⅲ)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0．于是η=0．不合题意． 当a=－1时，方程组(Ⅲ)同解变形为[*]，解出k1=l1+4l2，k2=l1+7l2． 于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2． 所以a=一1时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，且公共解是 l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T．
解析 要求n元线性方程组的基础解系必须知道该线性方程组系数矩阵的秩r为多少，才能确定基础解系中所含线性无关的解的个数n一r．任意选取n—r个线性无关的解便是基础解系，因此，首先应求出或判定出方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩．
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