2. 考研
  3. 以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫—∞+∞f(x)dx必收敛，且∫—∞+∞f(x)dx=0。 ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且∫—RRf(x)dx。 ③若∫—∞+∞f(x)

以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫—∞+∞f(x)dx必收敛，且∫—∞+∞f(x)dx=0。 ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且∫—RRf(x)dx。 ③若∫—∞+∞f(x)

admin2020-01-15  48
问题 以下四个命题，正确的个数为(    )
    ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫—∞+∞f(x)dx必收敛，且∫—∞+∞f(x)dx=0。
    ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且∫—RRf(x)dx。
    ③若∫—∞+∞f(x)dx与∫—∞+∞g(x)dx都发散，则∫—∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散。
    ④若∫—∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫—∞+∞f(x)dx未必发散。
选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。
答案A
解析 ∫—∞+∞f(x)dx收敛←→存在常数a，使∫—∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛，此时
    ∫—∞+∞f(x)dx=∫—∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx。
    设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且∫—RRf(x)dx=0。但是
    ∫—∞0f(x)dx=∫—∞0xdx=一∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=+∞，
故∫—∞+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题。
设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫—∞+∞f(x)dx与∫—∞+∞g(x)dx都发散，但∫—∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故选A。
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考研数学二

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