以下四个命题,正确的个数为( ) ①设f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,则∫—∞+∞f(x)dx必收敛,且∫—∞+∞f(x)dx=0。 ②设f(x)在(一∞,+∞)上连续,且∫—RRf(x)dx。 ③若∫—∞+∞f(x)

admin2020-01-15  24

问题 以下四个命题,正确的个数为(    )
    ①设f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,则∫—∞+∞f(x)dx必收敛,且∫—∞+∞f(x)dx=0。
    ②设f(x)在(一∞,+∞)上连续,且—RRf(x)dx。
    ③若∫—∞+∞f(x)dx与∫—∞+∞g(x)dx都发散,则∫—∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散。
    ④若∫—∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散,则∫—∞+∞f(x)dx未必发散。

选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。

答案A

解析—∞+∞f(x)dx收敛←→存在常数a,使∫—∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛,此时
    ∫—∞+∞f(x)dx=∫—∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx。
    设f(x)=x,则f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,且—RRf(x)dx=0。但是
    ∫—∞0f(x)dx=∫—∞0xdx=一∞,∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=+∞,
故∫—∞+∞f(x)dx发散,这表明命题①,②,④都不是真命题。
设f(x)=x,g(x)=一x,由上面讨论可知∫—∞+∞f(x)dx与∫—∞+∞g(x)dx都发散,但∫—∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛,这表明命题③是真命题。故选A。
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