已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α1,α2,…,αt是Aχ=0的基础解系,β不是Aχ=0的解.证明任一n维向量均可由α1,α2,…,αt,β线性表出.

admin2019-07-19  16

问题 已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α1,α2,…,αt是Aχ=0的基础解系,β不是Aχ=0的解.证明任一n维向量均可由α1,α2,…,αt,β线性表出.

选项

答案因为矩阵A中各行元素对应成比例,故r(A)=1,因此t=n-1. 若k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1+lβ=0, ① 用A左乘上式,并把Aαi=0(i=1,2,…,n-1)代入,得 lAβ=0. 由于Aβ≠0,故l=0.于是①式为 k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1=0. ② 因为α1,α2,…,αn-1是基础解系,知α1,α2,…,αn-1线性无关. 从而由②知k1=0,k2=0,…,kn-1=0. 因此α1,α2,…,αn-1,β线性无关. 对任一n维向量γ由于任意n+1个n维向量α1,α2,…,αn-1,β,γ必线性相关,那么γ必可由α1,…,αn-1,β线性表出.

解析
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