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已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α1,α2,…,αt是Aχ=0的基础解系,β不是Aχ=0的解.证明任一n维向量均可由α1,α2,…,αt,β线性表出.
已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α1,α2,…,αt是Aχ=0的基础解系,β不是Aχ=0的解.证明任一n维向量均可由α1,α2,…,αt,β线性表出.
admin
2019-07-19
29
问题
已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α
1
,α
2
,…,α
t
是Aχ=0的基础解系,β不是Aχ=0的解.证明任一n维向量均可由α
1
,α
2
,…,α
t
,β线性表出.
选项
答案
因为矩阵A中各行元素对应成比例,故r(A)=1,因此t=n-1. 若k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
+lβ=0, ① 用A左乘上式,并把Aα
i
=0(i=1,2,…,n-1)代入,得 lAβ=0. 由于Aβ≠0,故l=0.于是①式为 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
=0. ② 因为α
1
,α
2
,…,α
n-1
是基础解系,知α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性无关. 从而由②知k
1
=0,k
2
=0,…,k
n-1
=0. 因此α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β线性无关. 对任一n维向量γ由于任意n+1个n维向量α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β,γ必线性相关,那么γ必可由α
1
,…,α
n-1
,β线性表出.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Xfc4777K
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考研数学一
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