2. 考研
  3. 设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，试证至少有一点c∈(a，b)，使f(c)g(x)dx=g(c)f(x)dx．

设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，试证至少有一点c∈(a，b)，使f(c)g(x)dx=g(c)f(x)dx．

admin2019-06-04  56
问题 设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，试证至少有一点c∈(a，b)，使f(c)g(x)dx=g(c)f(x)dx．
选项
答案由上述证题思路易知，应设辅助函数 F(x)=[*]g(t)dt． 由f(x)，g(x)在[a，b]上连续，可知F′(x)存在，且 F′(x)=f(x)[*]4f(t)dt， x∈[a，b]， ① 又 F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使F′(c)=0．由式①即得 f(c)[*]f(x)dx．
解析 将定积分中值等式中的中值c改为变量x，得到
f(x)f(t)dt，
并将f(x)视为f(x)=(f(t)dt)′，将g(x)视为g(x)=－(g(t)dt)′，将待证等式化为
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考研数学一

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