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设f(x)和g(x)在[a,b]上连续,试证至少有一点c∈(a,b),使f(c)g(x)dx=g(c)f(x)dx.
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续,试证至少有一点c∈(a,b),使f(c)g(x)dx=g(c)f(x)dx.
admin
2019-06-04
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问题
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续,试证至少有一点c∈(a,b),使f(c)
g(x)dx=g(c)
f(x)dx.
选项
答案
由上述证题思路易知,应设辅助函数 F(x)=[*]g(t)dt. 由f(x),g(x)在[a,b]上连续,可知F′(x)存在,且 F′(x)=f(x)[*]4f(t)dt, x∈[a,b], ① 又 F(a)=F(b)=0, 由罗尔定理知,至少存在一点c∈(a,b),使F′(c)=0.由式①即得 f(c)[*]f(x)dx.
解析
将定积分中值等式中的中值c改为变量x,得到
f(x)
f(t)dt,
并将f(x)视为f(x)=(
f(t)dt)′,将g(x)视为g(x)=-(
g(t)dt)′,将待证等式化为
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考研数学一
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