设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，试证至少有一点c∈(a，b)，使f(c)g(x)dx=g(c)f(x)dx．

admin2019-06-04 73

问题设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，试证至少有一点c∈(a，b)，使f(c)

g(x)dx=g(c)

f(x)dx．

选项

答案由上述证题思路易知，应设辅助函数 F(x)=[*]g(t)dt．由f(x)，g(x)在[a，b]上连续，可知F′(x)存在，且 F′(x)=f(x)[*]4f(t)dt， x∈[a，b]， ① 又 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使F′(c)=0．由式①即得 f(c)[*]f(x)dx．

解析将定积分中值等式中的中值c改为变量x，得到
f(x)