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设α1=，α2=，α3=，α4=，则三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0， a2x+b2y+c2z+d2=0， a3x+b3y+c3z+d3=0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是
设α1=，α2=，α3=，α4=，则三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0， a2x+b2y+c2z+d2=0， a3x+b3y+c3z+d3=0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是
admin
2015-05-07
46
问题
设α
1
=
，α
2
=
，α
3
=
，α
4
=
，则三个平面
a
1
x+b
1
y+c
1
z+d
1
=0，
a
2
x+b
2
y+c
2
z+d
2
=0，
a
3
x+b
3
y+c
3
z+d
3
=0
两两相交成三条平行直线的充分必要条件是
选项
A、秩r(α
1
，α
2
，α
3
)=1，秩r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=2
B、秩r(α
1
，α
2
，α
3
)=2，秩r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=3
C、α
1
，α
2
，α
3
中任两个向量均线性无关，且α
4
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表出
D、α
1
，α
2
，α
3
中任两个向量均线性无关，且α
4
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表出
答案
C
解析
三个平面两两相交，说明方程组
必无解．
因此r(α
1
，α
2
，α
3
)≠r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，可排除(D)．
而r(α
1
，α
2
，α
3
)=1，说明三个平面的法向量共线，因此这三个平面必平行或重合，可排除
(A)．
当三个平面两两相交成三条平行直线时，这三个平面的法向量是共面且互不平行的．即
(a
1
，b
1
，c
1
)，(a
2
，b
2
，c
2
)，(a
3
，b
3
，c
3
)共面且互不平行．因此
=0且任两行不成比例．从而秩r(α
1
，α
2
，α
3
)=2．但当r(α
1
，α
2
，α
3
)=2时，不能保证任意两个平面不平行，故(B)是必要条件．
由排除法可知，应选(C)．
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