设α1=,α2=,α3=,α4=,则三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0, a2x+b2y+c2z+d2=0, a3x+b3y+c3z+d3=0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是

admin2015-05-07  36

问题 设α1=,α2=,α3=,α4=,则三个平面
    a1x+b1y+c1z+d1=0,
    a2x+b2y+c2z+d2=0,
    a3x+b3y+c3z+d3=0
    两两相交成三条平行直线的充分必要条件是

选项 A、秩r(α1,α2,α3)=1,秩r(α1,α2,α3,α4)=2
B、秩r(α1,α2,α3)=2,秩r(α1,α2,α3,α4)=3
C、α1,α2,α3中任两个向量均线性无关,且α4不能由α1,α2,α3线性表出
D、α1,α2,α3中任两个向量均线性无关,且α4可由α1,α2,α3线性表出

答案C

解析 三个平面两两相交,说明方程组必无解.
因此r(α1,α2,α3)≠r(α1,α2,α3,α4),可排除(D).
    而r(α1,α2,α3)=1,说明三个平面的法向量共线,因此这三个平面必平行或重合,可排除
(A).
    当三个平面两两相交成三条平行直线时,这三个平面的法向量是共面且互不平行的.即
(a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a3,b3,c3)共面且互不平行.因此=0且任两行不成比例.从而秩r(α1,α2,α3)=2.但当r(α1,α2,α3)=2时,不能保证任意两个平面不平行,故(B)是必要条件.
    由排除法可知,应选(C).
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