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设函数y=f(x)满足方程y”+2y’+y=3xe—x及条件y(0)=,y’(0)=一2,求广义积分∫0+∞f(x)dx.
设函数y=f(x)满足方程y”+2y’+y=3xe—x及条件y(0)=,y’(0)=一2,求广义积分∫0+∞f(x)dx.
admin
2021-08-05
72
问题
设函数y=f(x)满足方程y”+2y’+y=3xe
—x
及条件y(0)=
,y’(0)=一2,求广义积分∫
0
+∞
f(x)dx.
选项
答案
方法一 对应齐次方程的特征方程r
2
+2r+1=0有二重特征根r=一1,则对应齐次方程的通解为 Y=(C
1
+C
2
x)e
—x
. 原方程的自由项3xe
—x
,λ=r=一1是特征方程的二重根,故应设特解为y
*
=x
2
(ax+b)e
—x
. 代入原方程,解得a=1/2,b=0,则y
*
=[*]x
3
e
—x
.因此,方程的通解为 f(x)=Y+y
*
=(C
1
+C
2
)e
—x
+[*]x
3
e
—x
. 再由y(0)=1/3,y’(0)=一2解得C
1
=1/3,C
2
=—5/3,所以f(x)=[*].最后,利用分部积分,得 [*] 方法二 本题具有特殊性.只需确定通解f(x)的一般形式,不必计算其中的各个参数即可求出广义积分∫
0
+∞
f(x)dx的值.这是因为,根据所给方程可设 f(x)=(C
1
+C
2
x)e
—x
+x
2
(ax+b)e
—x
=(C
1
+C
2
x+bx
2
+ax
3
)e
—x
, 易知[*]所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vPy4777K
0
考研数学二
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