2. 考研
  3. 设函数y=f(x)满足方程y”+2y’+y=3xe—x及条件y(0)=，y’(0)=一2，求广义积分∫0+∞f(x)dx．

设函数y=f(x)满足方程y”+2y’+y=3xe—x及条件y(0)=，y’(0)=一2，求广义积分∫0+∞f(x)dx．

admin2021-08-05  72
问题 设函数y=f(x)满足方程y”+2y’+y=3xe—x及条件y(0)=，y’(0)=一2，求广义积分∫0+∞f(x)dx．
选项
答案方法一 对应齐次方程的特征方程r2+2r+1=0有二重特征根r=一1，则对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e—x． 原方程的自由项3xe—x，λ=r=一1是特征方程的二重根，故应设特解为y*=x2(ax+b)e—x． 代入原方程，解得a=1/2，b=0，则y*=[*]x3e—x．因此，方程的通解为 f(x)=Y+y*=(C1+C2)e—x+[*]x3e—x. 再由y(0)=1/3，y’(0)=一2解得C1=1/3，C2=—5/3，所以f(x)=[*].最后，利用分部积分，得 [*] 方法二 本题具有特殊性．只需确定通解f(x)的一般形式，不必计算其中的各个参数即可求出广义积分∫0+∞f(x)dx的值．这是因为，根据所给方程可设 f(x)=(C1+C2x)e—x+x2(ax+b)e—x =(C1+C2x+bx2+ax3)e—x， 易知[*]所以 [*]
解析
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考研数学二

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