2. 考研
  3. 求下列二重积分： (Ⅰ)I=，其中D={(x，y｜0≤x≤1，0≤y≤1}； (Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}．

求下列二重积分： (Ⅰ)I=，其中D={(x，y｜0≤x≤1，0≤y≤1}； (Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}．

admin2017-10-23  22
问题 求下列二重积分：
(Ⅰ)I=，其中D={(x，y｜0≤x≤1，0≤y≤1}；
(Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}．
选项
答案考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解． (Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便．D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为 [*] (Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂．因D是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形．这时可利用周期函数的积分性质． 作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则D={(r，θ)｜0≤θ≤2π，0≤r≤1}．从而 [*] 其中sinθ0=[*]．由周期函数的积分性质，令t=θ+θ0就有 [*]
解析
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考研数学三

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