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设函数f(x)的定义域是R，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1． 判断f(x)在R上的单调性；
设函数f(x)的定义域是R，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1． 判断f(x)在R上的单调性；
admin
2019-06-01
61
问题
设函数f(x)的定义域是R，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1．
判断f(x)在R上的单调性；
选项
答案
设任意x
1
，x
2
∈(－∞，+∞)，且x
1
＜x
2
，则 ∵x
1
＜x
2
，∴x
2
－x
1
＞0，0＜f(x
2
－x
1
)＜1． 由x＞0时，0＜f(x)＜1；x＜0时，f(x)＞1；f(0)=1， ∴对x∈R，有f(x)＞0， ∴f(x
2
)－f(x
1
)=f[(x
2
－x
1
)+x
1
]－f(x
1
)=f(x
2
－x
1
)f(x
1
)－f(x
1
)=f(x
1
)[f(x
2
－x
1
)－1]＜0， 即f(x
1
)＞f(x
2
)，∴f(x)在R上单调递减．
解析
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