设函数f(x)的定义域是R，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1．判断f(x)在R上的单调性；

admin2019-06-01 46

问题设函数f(x)的定义域是R，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1．
判断f(x)在R上的单调性；

选项

答案设任意x₁，x₂∈(－∞，+∞)，且x₁＜x₂，则 ∵x₁＜x₂，∴x₂－x₁＞0，0＜f(x₂－x₁)＜1．由x＞0时，0＜f(x)＜1；x＜0时，f(x)＞1；f(0)=1， ∴对x∈R，有f(x)＞0， ∴f(x₂)－f(x₁)=f[(x₂－x₁)+x₁]－f(x₁)=f(x₂－x₁)f(x₁)－f(x₁)=f(x₁)[f(x₂－x₁)－1]＜0，即f(x₁)＞f(x₂)，∴f(x)在R上单调递减．

解析

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