设级数an条件收敛，则幂级数(x-2)n的收敛区间为______．

admin2017-05-18 19

问题设级数

a_n条件收敛，则幂级数

(x-2)ⁿ的收敛区间为______．

选项

答案(1，3)

解析级数

a_n条件收敛，即幂级数

a_nxⁿ在x=1点处条件收敛，故它的收敛半径R=1．因为如果R＜1，则幂级数

a_nxⁿ在x=1点处应发散，矛盾；如果R＞1，则幂级数

a_nxⁿ在x=1点处应绝对收敛，矛盾．
由于逐项积分所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，故幂级数

(x-2)ⁿ与幂级数

a_n(x-2)ⁿ⁺¹的收敛半径均为1，所以所求收敛区间为(2-1，2+1)=(1，3)．

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