设f(χ)在(－∞，＋∞)上是导数连续的有界函数，｜f(χ)－f′(χ)｜≤1，证明：｜f(χ)｜≤1．

admin2021-11-09 42

问题设f(χ)在(－∞，＋∞)上是导数连续的有界函数，｜f(χ)－f′(χ)｜≤1，证明：｜f(χ)｜≤1．

选项

答案因为f(χ)有界，所以[*]e^－χf(χ)＝0，于是e^－χf(χ)｜_χ^＋∞＝∫_χ^＋∞[e^－χf(χ)]′dχ，即－e^－χf(χ)＝∫_χ^＋∞－e^－χ[f(χ)－f′(χ)]dχ，两边取绝对值得 e^－χ｜f(χ)｜≤∫_χ^＋∞e^－χ｜f(χ)－f′(χ)｜dχ≤∫_χ^＋∞e^－χdχ＝e^－χ，故｜f(χ)｜≤1．

解析

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