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设f(χ)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(χ)-f′(χ)|≤1,证明:|f(χ)|≤1.
设f(χ)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(χ)-f′(χ)|≤1,证明:|f(χ)|≤1.
admin
2021-11-09
76
问题
设f(χ)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(χ)-f′(χ)|≤1,证明:|f(χ)|≤1.
选项
答案
因为f(χ)有界,所以[*]e
-χ
f(χ)=0, 于是e
-χ
f(χ)|
χ
+∞
=∫
χ
+∞
[e
-χ
f(χ)]′dχ, 即-e
-χ
f(χ)=∫
χ
+∞
-e
-χ
[f(χ)-f′(χ)]dχ,两边取绝对值得 e
-χ
|f(χ)|≤∫
χ
+∞
e
-χ
|f(χ)-f′(χ)|dχ≤∫
χ
+∞
e
-χ
dχ=e
-χ
,故|f(χ)|≤1.
解析
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