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[2016年] 已知矩阵A=. 设三阶矩阵B=[α1，α2，α3]满足B2=BA，求B100=[β1，β2，β3]，试将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
[2016年] 已知矩阵A=. 设三阶矩阵B=[α1，α2，α3]满足B2=BA，求B100=[β1，β2，β3]，试将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
admin
2021-01-19
85
问题
[2016年] 已知矩阵A=
.
设三阶矩阵B=[α
1
，α
2
，α
3
]满足B
2
=BA，求B
100
=[β
1
，β
2
，β
3
]，试将β
1
，β
2
，β
3
分别表示为α
1
，α
2
，α
3
的线性组合．
选项
答案
利用B
2
=BA和递推法找出B
100
与A
99
的关系求之．先证BA
99
=B
100
．事实上 BA
2
=BA．A=B
2
．A=B·BA=B·B
2
=B
3
， BA
3
=BA
2
．A=B
3
．A=B
2
·BA=B
2
·B
2
=B
4
，…， 设BA
98
=B
99
，则 BA
99
=BA
98
．A=B
99
．A=B
98
·BA=B
98
·B
2
=B
100
． 由B
100
=(β
1
，β
2
，β
3
)， B=(α
1
，α
2
，α
3
)，B
100
=BA
99
得到 (β
1
，β
2
，β
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)A
98
=(α
1
，α
2
，α
3
)[*] 故β
1
=(一2+2
99
)α
1
+(一2+2
100
)α
2
，β
2
=(1—2
99
)α
1
+(1—2
100
)α
2
， β
3
=(2—2
98
)α
1
+(2—2
99
)α
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Xu84777K
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考研数学二
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