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[2016年] 已知矩阵A=. 设三阶矩阵B=[α1,α2,α3]满足B2=BA,求B100=[β1,β2,β3],试将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
[2016年] 已知矩阵A=. 设三阶矩阵B=[α1,α2,α3]满足B2=BA,求B100=[β1,β2,β3],试将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
admin
2021-01-19
84
问题
[2016年] 已知矩阵A=
.
设三阶矩阵B=[α
1
,α
2
,α
3
]满足B
2
=BA,求B
100
=[β
1
,β
2
,β
3
],试将β
1
,β
2
,β
3
分别表示为α
1
,α
2
,α
3
的线性组合.
选项
答案
利用B
2
=BA和递推法找出B
100
与A
99
的关系求之.先证BA
99
=B
100
.事实上 BA
2
=BA.A=B
2
.A=B·BA=B·B
2
=B
3
, BA
3
=BA
2
.A=B
3
.A=B
2
·BA=B
2
·B
2
=B
4
,…, 设BA
98
=B
99
,则 BA
99
=BA
98
.A=B
99
.A=B
98
·BA=B
98
·B
2
=B
100
. 由B
100
=(β
1
,β
2
,β
3
), B=(α
1
,α
2
,α
3
),B
100
=BA
99
得到 (β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)A
98
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 故β
1
=(一2+2
99
)α
1
+(一2+2
100
)α
2
,β
2
=(1—2
99
)α
1
+(1—2
100
)α
2
, β
3
=(2—2
98
)α
1
+(2—2
99
)α
2
.
解析
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