设函数f和g都在区间上一致连续．若I为有限区间，证明f·g在I上一致连续；

admin2022-11-23 8

问题设函数f和g都在区间上一致连续．
若I为有限区间，证明f·g在I上一致连续；

选项

答案设I为有限区间，则f，g均在I上有界，不妨设｜f(x)｜＜M，｜g(x)｜＜M，x∈I．由f，g在I上的一致连续性知，对[*]，当x’，x”∈I，且｜x’- x”｜＜δ时，有 [*] 从而｜f(x’)g(x’)-f(x”)g(x”)｜≤｜f(x’)｜｜g(x’)-g(x”)｜+｜g(x”)｜｜f(x’)-f(x”)｜ [*] 故f·g在I上一致连续．

解析

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