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讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型: (I)y=(1+x)arctan; (II)y=-x); (Ⅲ)y= (Ⅳ)=f(x)=,x∈(0,2π); (Ⅴ)y=f[g(x)],其中f(x)=
讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型: (I)y=(1+x)arctan; (II)y=-x); (Ⅲ)y= (Ⅳ)=f(x)=,x∈(0,2π); (Ⅴ)y=f[g(x)],其中f(x)=
admin
2017-05-18
24
问题
讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型:
(I)y=(1+x)arctan
;
(II)y=
-x);
(Ⅲ)y=
(Ⅳ)=f(x)=
,x∈(0,2π);
(Ⅴ)y=f[g(x)],其中f(x)=
选项
答案
(I)这是初等函数,它在定义域(x
2
≠1)上连续.因此,x≠±1时均连续.x=±1时, [*] 故x=1是第一类间断点(跳跃的).又[*]y=0,故x=-1也是第一类间断点(可去). (Ⅱ)先求极限函数.注意[*]=0(|x|<1),[*]=0(|x|>1), [*] x≠±1时,|x|<1与|x|>1分别与某初等函数相同,故连续. x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点).因左、右极限均[*],不相等. (Ⅲ)在区间(0,+∞),[-1,0)上函数y分别与某初等函数相同,因而连续.在x=0处y无定义,而 [*] [*]x=0是第一类间断点(可去间断点). (Ⅳ)f(x)=[*]是初等函数,在(0,2π)内f(x)有定义处均连续.仅在tan(x-[*]无定义处及tan(x-[*])=0处f(x)不连续. [*] (V)先求f[g(x)]表达式. [*] 当x>1,x<1时,f[g(x)]分别与某初等函数相同,因而连续.当x=1时,分别求左、右极限 [*] 故x=1为第一类间断点(跳跃间断点).
解析
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考研数学一
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