设有多项式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设x=x0是它的最大实根，则P’(x0)满足

admin2017-10-12 37

问题设有多项式P(x)=x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，又设x=x₀是它的最大实根，则P’(x₀)满足

选项 A、P’(x₀)＞0．
B、P’(x₀)＜0．
C、P’(x₀)≤0．
D、P’(x₀)≥0．

答案D

解析反证法．设x₀是P(x)=0的最大实根，且P’(x₀)<0

使0＜x-x₀＜δ时P(x)＜0，又

=+∞，由此可见P(x)在区间

必由取负值变为取正值，于是

，使P(x₁)=0，与x=x₀是P(x)=0的最大实根矛盾．故应选(D)．
另外，该题也可以通过P(x)=x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀的图形来进行判定．4次函数与x轴的交点有如下四种情况，由此可知P’(x₀)≥0．

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