(2001年)已知抛物线y=px2qx印(其中p＜0，q＞0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S。问p和q为何值时，S达到最大?并求出此最大值。

admin2018-04-17 93

问题 (2001年)已知抛物线y=px²qx印(其中p＜0，q＞0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S。问p和q为何值时，S达到最大?并求出此最大值。

选项

答案依题意知，抛物线如右图所示， [*] 令y=px²+qx=x(px+q)=0，求得它与x轴交点的横坐标为x₁=0，[*] 根据定积分的定义，面积S为 [*] 因直线x+y=5与抛物线y=px²+qx相切，故它们有唯一公共点。由方程组 [*] 得px²+(q+1)x一5=0，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即 △=(q+1)²一4×p×(一5)=(q+1)²+20p=0， [*] 令S’(q)=0，得唯一驻点q=3。当1＜q＜3时，S’(q)＞0；q＞3时，S’(q)＜0。故根据极值判定的第一充分条件知，q=3时，S(q)取唯一极大值，即最大值。从而最大值为S=S(3)=[*]

解析

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考研数学三

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(2001年)已知抛物线y=px2qx印(其中p＜0，q＞0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S。问p和q为何值时，S达到最大?并求出此最大值。

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