(2001年)已知抛物线y=px2qx印(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S。问p和q为何值时,S达到最大?并求出此最大值。

admin2018-04-17  46

问题 (2001年)已知抛物线y=px2qx印(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S。问p和q为何值时,S达到最大?并求出此最大值。

选项

答案依题意知,抛物线如右图所示, [*] 令y=px2+qx=x(px+q)=0,求得它与x轴交点的横坐标为x1=0,[*] 根据定积分的定义,面积S为 [*] 因直线x+y=5与抛物线y=px2+qx相切,故它们有唯一公共点。由方程组 [*] 得px2+(q+1)x一5=0,因为其公共解唯一,则该一元二次方程只有唯一解,故其判别式必为零,即 △=(q+1)2一4×p×(一5)=(q+1)2+20p=0, [*] 令S’(q)=0,得唯一驻点q=3。 当1<q<3时,S’(q)>0;q>3时,S’(q)<0。故根据极值判定的第一充分条件知,q=3时,S(q)取唯一极大值,即最大值。从而最大值为S=S(3)=[*]

解析
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